[2015년 백신고]

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[2학년 1학기 중간 미적분1]

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: lim_n->inf (n^2 +n)a_n =`-3]일 때,
[eqn: lim_n->inf (2n^2 -n +5) a_n]의 값은? [3.4점]

①

① [eqn: -6]	② [eqn: - 2over3]	③ [eqn: 2over3]

④ [eqn: 3over2]	⑤ [eqn: 6]

수열 [eqn: left{ {k^3n+2 -(-1)^n} over{(-8)^n +2^n} right}]이 수렴하도록 하는 정수 [eqn: k]의 최댓값을 [eqn: a`], 최솟값을 [eqn: b]라 할 때 [eqn: 2a+b]의 값은? [3.9점]

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

이차방정식 [eqn: x^2 - 2x -5=0]의 두 근을 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때,
[eqn: lim_n-> {alpha^n - beta^n} over{alpha^n-1 +beta^n-1}]의 값은? (단, [eqn: alpha< beta]) [3.8점]

① [eqn: -2 sqrt { 6}]	② [eqn: -1- sqrt { 6}]	③ [eqn: 1- sqrt { 6}]

④ [eqn: 1+ sqrt { 6}]	⑤ [eqn: 2sqrt { 6}]

이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 세 점 [eqn: (-3,```0)], [eqn: (0,```-1)], [eqn: (3,```0)]을 지난다. 급수 [eqn: sum_n=1^inf left(2` |f(x) |-1right)^n]이 수렴하도록 하는 정수 [eqn: x]의 개수는? [4.2점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

집합 [eqn: A_n = left{ 1,```1over3 ,```1over3^2 ,```cdots,```1over{3^n-1} right}]의 서로 다른 두 원소의 곱의 합을 [eqn: S_n]이라 하자. 예를 들어 [eqn: A_4 = left{1,```1over3 ,```1over3^2 ,```1over3^3 right}]이므로
[eqn: S_4 = 1over3 + 1over3^2 + 2over3^3 + 1over3^4 + 1over3^5]이다. 이때 [eqn: lim_n->inf S_n]의 값은? [4.4점]

① [eqn: 3over16]	② [eqn: 3over8]	③ [eqn: 9over16]

④ [eqn: 7over8]	⑤ [eqn: 9over8]

등비급수 [eqn: 1-r+r^2 -r^3 + `cdots]의 합이 [eqn: 2]일 때, 등비급수
[eqn: 1+r^3 +r^6 +r^9 + `cdots]의 합은? [3.7점]

① [eqn: 7over8]	② [eqn: 8over9]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 9over8]	⑤ [eqn: 8over7]

그림과 같이 [eqn: angle rmAOB = 60DEG]이고 [eqn: bar{rmOA} = bar{rmOB} =2]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다. 점 [eqn: rmA]에서 선분 [eqn: rmOB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmB_1], 선분 [eqn: rmOB_1]을 반지름으로 하는 원이 선분 [eqn: rmOA]와 만나는 점을 [eqn: rmA_1]이라고 하자. 점 [eqn: rmA_1]에서 선분 [eqn: rmOB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmB_2], 선분 [eqn: rmOB_2]를 반지름으로 하는 원이 선분 [eqn: rmOA]와 만나는 점을 [eqn: rmA_2]라고 하자. 이와 같은 과정을 반복할 때, 부채꼴 [eqn: {RMOA}_n{rmB}_n]의 넓이 [eqn: S_n]에 대하여 [eqn: sum_n=1^inf S_n]의 합은? [3.9점]

① [eqn: pi over18]	② [eqn: pi over9]	③ [eqn: 2over9 pi]

④ [eqn: 2over3 pi]	⑤ [eqn: 8over9 pi]

그림과 같이 지름의 길이가 [eqn: 2]인 반원에 두 꼭짓점은 반원에 접하고, 두 꼭짓점은 반원의 지름 위에 있는 정사각형 [eqn: M_1]을 그린다. 또 정사각형 [eqn: M_1]의 꼭짓점과 지름의 양끝을 지름으로 하는 두 개의 반원을 그린 후 [eqn: M_1]과 같은 방법으로 반원에 두 개의 정사각형 [eqn: M_2]를 그린다. 이와 같은 방법으로 원과 정사각형을 계속하여 그린 후 [eqn: n]번째 그려진 [eqn: 2^n-1]개의 정사각형 [eqn: M_n]의 둘레의 길이의 합을 [eqn: L_n]이라 할 때, [eqn: sum_n=1^inf L_n]의 값은? [4.0점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 4( sqrt { 5}-1)]	③ [eqn: 2LEFT ( sqrt { 5} +1RIGHT )]

④ [eqn: 2LEFT ( 2 sqrt { 5} -1RIGHT )]	⑤ [eqn: 8]

다음 극한값 중 가장 큰 값을 [eqn: a], 가장 작은 값을 [eqn: b]라 할 때, [eqn: a-b]의 값은? (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [3.8점]

∘ [eqn: lim_x->inf {[x]+x} over2x]

∘ [eqn: lim_x->inf LEFT ( sqrt { x^2 +6x} -x RIGHT )]

∘ [eqn: lim_x->inf {(x+1)( |x |-1)}over{ |x-1 |]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같고, 함수 [eqn: g(x)=f(x)+f(-x)]라 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.4점]

③

ㄱ. [eqn: lim_x->1 (f CIRCf)(x)=1]

ㄴ. [eqn: lim_x->1 g(x) =0]

ㄷ. 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)=lim_n->inf {x^2n-1 -x^2 +a} over{x^2n +1}]가 [eqn: x=1]에서 연속일 때,
[eqn: a+ lim_x->1 f(x)]의 값은? [3.9점]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

모든 실수 [eqn: x]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)=f(x+4)]를 만족하고, 구간 [eqn: [0,```4)]에서 [eqn: f(x)= {cases{2x ^{2} +ax-b&```(0 LEQ x<2)#-x+4&```(2 LEQ x<4)}}]라 할 때, [eqn: sum_n=1^2015 f(n)]의 값은? (단, [eqn: n]은 자연수이다.) [4.0점]

④

① [eqn: 1005]	② [eqn: 1006]	③ [eqn: 1007]

④ [eqn: 1008]	⑤ [eqn: 1009]

구간 [eqn: [-3,```inf)]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]를
[eqn: f(x) ={ sqrt { x+3}-2}over{x-1}][eqn: (x!=1)]
라 할 때, [eqn: f(1)]의 값은? [3.7점]

①

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: 2over3]	⑤ [eqn: 3over4]

그림과 같이 [eqn: x]축 위의 한 점 [eqn: {rmA} (t,```0)] [eqn: (t>1)]에서 원
[eqn: x^2 +y^2 =1]에 그은 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라고 하자.
[eqn: triangle rmPOA]의 넓이를 [eqn: f(t)]라 할 때, [eqn: lim_t->inf f(t) over t]의 극한값은?
(단, 점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이다.) [4.2점]

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3over2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5over2]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같을 때,
[eqn: f(2) - lim_x->w f(x) +lim_x->0+ f(x) +lim_x->0- f(x)]의 값은? [3.8점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

다항함수 [eqn: f(x)`]가 [eqn: f(x)=x^3 -2xf`'(1)]을 만족시킬 때,
[eqn: sum_n=1^5 lim_h->0 {f(n+h) -f(n)}overh]의 값은? [4.0점]

① [eqn: 125]	② [eqn: 135]	③ [eqn: 145]

④ [eqn: 155]	⑤ [eqn: 165]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim_h->0 {f(2+3h)-f(2)}over2h =6]일 때, 곡선
[eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (2,```f(2))]에서의 접선의 기울기는? [3.4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: x=1]에서 연속이지만, 미분가능하지 않은 함수를 보기에서 있는 대로 고른 것은? [3.7점]

ㄱ. [eqn: f(x)=1]	ㄴ. [eqn: f(x)=x-1]

ㄷ. [eqn: f(x)= |x-1 |]	ㄹ. [eqn: f(x)= |x^2 -1 |]

ㅁ. [eqn: f(x)=-x^2 +2x-1]    ㅂ. [eqn: f(x)= 1over{(x-1)^2]

① ㄱ, ㄴ	② ㄷ, ㄹ	③ ㄱ, ㄷ, ㄹ

④ ㄴ, ㅁ, ㅂ	⑤ ㄷ, ㄹ, ㅂ

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]에 대하여
[eqn: lim_x->2{f(x)-3} overx-2 =5], [eqn: lim_x->2 {g(x)+2} overx-2 =3]
를 민족시킬 때, 함수 [eqn: h(x)=f(x)g(x)]에 대하여 [eqn: h`'(2)]의 값은? [3.8점]

①

① [eqn: -1]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 15]

[eqn: lim_x->1 {4x^5n -3x^3n -2x^n +1}overx-1 =18]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은? [4.0점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

서술형

두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [9.0점]

(1) [eqn: sum_n=1^inf a_n = alpha], [eqn: lim_n->inf b_n = beta]이면 [eqn: lim_n->inf a_n b_n =0]이다.

(단, [eqn: alpha], [eqn: beta]는 상수이다.)

① 위의 명제가 참인지 거짓인지 판별하시오. [1.0점]

② 거짓이면 반례를 들고, 참이면 증명을 하시오. [2.0점]

(2) [eqn: lim_n->inf a_n b_n =alpha]이면 [eqn: lim_n->inf a_n] 또는 [eqn: lim_n->inf b_n]이 수렴한다.

(단, [eqn: alpha]는 상수이다.)

① 위의 명제가 참인지 거짓인지 판별하시오. [1.0점]

② 거짓이면 반례를 들고, 참이면 증명을 하시오. [2.0점]

(3) [eqn: lim_n->inf a_n =0]이면 급수 [eqn: sum_n=1^inf a_n]은 수렴한다.

① 위의 명제가 참인지 거짓인지 판별하시오. [1.0점]

② 거짓이면 반례를 들고, 참이면 증명을 하시오. [2.0점]

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim_x->inf {f(x)-x^3} over{x^2 +3x-1} =2], [eqn: lim_x->-1 f(x) over{x^2 -x-2 } =1]을 만족시킬 때, [eqn: f(x)]를 구하고, 그 과정을 서술하시오. [8.0점]

함수 [eqn: f(x)=x^3 -8]에 대하여 [eqn: x]의 값이 [eqn: 2]에서 [eqn: k]까지 변할 때의 평균변화율과 [eqn: x= sqrt { 13}]에서의 순간변화율이 같을 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. (단, [eqn: k>2]) [5.0점]

[2015년 백신고]

[2학년 1학기 중간 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com